Question

6．已知f（x）=|x-1|+a，a∈R，g（x）=|2x-1|．
（1）当a=2时，解关于x的不等式f（x）+g（x）≤5；
（2）当g（x）≤5时，关于x的不等式x•[f（x）-a]≤a²-a恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，分类讨论解关于x的不等式f（x）+g（x）≤5；
（2）当g（x）≤5时，-2≤x≤3，求出h（x）=x•[f（x）-a]=x|x-1|，利用x的不等式x•[f（x）-a]≤a²-a恒成立，求a的取值范围．

解答 解：（1）当a=2时，关于x的不等式f（x）+g（x）≤5，化为|x-1|+|2x-1|≤3，
x$＜\frac{1}{2}$时，-x+1-2x+1≤3，∴x≥-$\frac{1}{3}$，∴-$\frac{1}{3}$≤x＜$\frac{1}{2}$；
$\frac{1}{2}$≤x≤1时，-x+1+2x-1≤3，∴x≤3，∴$\frac{1}{2}$≤x≤1；
x＞1时，x-1+2x-1≤3，∴x≤$\frac{5}{3}$，∴1＜x≤$\frac{5}{3}$．
综上所述，-$\frac{1}{3}$≤x≤$\frac{5}{3}$．
（2）当g（x）≤5时，-2≤x≤3
h（x）=x•[f（x）-a]=x|x-1|，
-2≤x≤1时，h（x）=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，x=$\frac{1}{2}$时，h（x）_max=$\frac{1}{4}$；
1＜x≤3时，h（x）=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，x=3时，h（x）_max=6；
∴h（x）的最大值为6，
∵关于x的不等式x•[f（x）-a]≤a²-a恒成立，
∴a²-a≥6，
∴a≤-2或a≥3．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的数学思想，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．