Question

11．已知函数f（x）=log₂$\frac{x}{1-x}$．
（1）求函数的定义域；
（2）若函数f（x）在其定义域内是增函数，解不等式f（t）-f（2t-$\frac{1}{2}$）≤0．

Answer 1

分析 （1）解不等式$\frac{x}{1-x}＞0$即可．
（2）利用函数单调性将不等式转化为不等式t≤2t-$\frac{1}{2}$，同时注意定义域即可．

解答 解：（1）由f（x）=log₂$\frac{x}{1-x}$得：$\frac{x}{1-x}＞0$，解得：0＜x＜1．
∴函数的定义域是（0，1）．
（2）∵f（t）-f（2t-$\frac{1}{2}$）≤0，
∴f（t）≤f（2t-$\frac{1}{2}$）．
∵函数f（x）在（0，1）内是增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{t≤2t-\frac{1}{2}}\\{0＜t＜1}\\{0＜2t-\frac{1}{2}＜1}\end{array}\right.$．解得$\frac{1}{2}≤t＜\frac{3}{4}$．
∴不等式f（t）-f（2t-$\frac{1}{2}$）≤0的解为$\frac{1}{2}≤t＜\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了对数函数的定义域、函数单调性的应用，属于基础题．