Question

某企业生产一种产品时，固定成本为5 000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R（x）=5x-

1

2

x2（万元）（0≤x≤5），其中x是产品售出的数量（单位：百台）
（1）把利润表示为年产量的函数；
（2）年产量多少时，企业所得的利润最大．

Answer 1

分析：（1）利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入R（x）与其总成本C（x）之差，而总成本C（x）=固定成本（5000）+生产消耗成本（每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元）；
（2）分段求和函数的最大值，比较可得企业所得的利润最大

解答：解：（1）利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入R（x）与其总成本C（x）之差，
由题意，当x≤5时，产品能全部售出，利润y=5x-

1

2

x2-(0.5+0.25x)
当x＞5时，只能销售500台，利润y=(5×5-

1

2

×52)-(0.5+0.25x)
∴y=

5x-0.5x2-(0.5+0.25x)     0≤x≤5 (5×5-0.5×52)-(0.5+0.25x)  x＞5

=

4.75x-0.5x2-0.5，0≤x≤5 12-0.25x，x＞5

…（6分）
（2）在0≤x≤5时，y=-

1

2

x²+4.75x-0.5，…（8分）
当x=-

b

2a

=4.75时，y_max=10.781 25；    …（10分）
当x＞5 百台时，y＜12-0.25×5=10.75，…（11分）
∴当生产4.75百台即475台时，利润最大．  …（12分）

点评：本题考查根据实际问题抽象函数模型的能力，并能根据模型的解决，指导实际生活中的决策问题，属中档题．