Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.

(1)求a4的值；

(2)证明： 为等比数列．

Answer 1

【答案】(1) ;(2)详见解析.

【解析】试题分析:(1)由题意令,把数列的和用项的形式列出,代入已知求出;(2)由已知拆项,化简为数列的递推关系式形式,由等比数列的定义以及代入,即可证明.

试题解析:

(1)解：当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，即4＋5＝8＋1，解得a4＝.

(2)证明：由4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，得4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)．

因为 4a3＋a1＝4×＋1＝6＝4a2，

所以 4an＋2＋an＝4an＋1，

所以＝＝＝

＝，

所以 数列是以a2－a1＝1为首项，为公比的等比数列．

点睛: 等比数列的判断方法有：(1)定义法：若 (为非零常数)或 (为非零常数且且)，则是等比数列．(2)中项公式法：在数列中， 且 ()，则数列是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成 (， 均是不为0的常数， )，则是等比数列．