Question

已知定义域为D的函数y=f（x），若对于任意x∈D，存在正数K，都有|f（x）|≤K|x|成立，那么称函数y=f（x）是D上的“倍约束函数”，已知下列函数：
①f（x）=2x；
②f（x）=2sin（x+

π

4

）；     
③f（x）=x³-2x²+x；    
④f（x）=

x2

x2+x+1

，
其中是“倍约束函数”的是

①④

．（将你认为正确的函数序号都填上）

Answer 1

分析：对于任意x∈D，存在正数K，都有|f（x）|≤K|x|成立?|

f(x)

x

|≤k，对①②③④逐个分析判断即可．

解答：解：①∵f（x）=2x，
∴存在正数2，都有|

f(x)

x

|=|

2x

x

|=2≤2，
∴①是“倍约束函数”；
②f（x）=2sin（x+

π

4

），
∵x→0⁺时|

f(x)

x

|=|

2sin(x+ π 4 )

x

|→+∞，故不存在正数k使得对于任意x∈D，都有|f（x）|≤K|x|成立，
∴②不是“倍约束函数”；
f（x）=x³-2x²+x，当x→+∞|

f(x)

x

|=|x²-2x+1|→+∞，故不存在正数k使得对于任意x∈D，都有|f（x）|≤K|x|成立，
∴③不是“倍约束函数”；
④（x）=

x2

x2+x+1

，|

f(x)

x

|=|

x

x2+ x+1

|=

0(x=0) | 1 x+ 1 x +1 |(x≠0)

，而|

1

x+ 1 x +1

|≤

1

3

，f故存在正数

1

3

使得对于任意x∈D，都有|f（x）|≤

1

3

|x|成立，
∴④是“倍约束函数”；
综上所述，是“倍约束函数”的是①④．
故答案为：①④

点评：本题考查函数的最值及其几何意义，将|f（x）|≤K|x|成立转化为|

f(x)

x

|≤k，是关键，考查学生分析问题与综合应用的能力，属于难题．