Question

如图1，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连接PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R．

①求证：PB=PS；

②判断△SBR的形状；

③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似？若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

 

 

（2）①过点B作BN⊥PS，垂足为N，可以设P的坐标是（a，a2+1），根据勾股定理就可以用a表示出PB=PS的长，由此可以证明；

②判断△SBR的形状，根据①同理可知BQ=QR，根据等边对等角就可以证明∠SBR=90度，则△SBR为直角三角形；

③若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点的三角形相似，有△PSM∽△MRQ和△PSM∽△QRM两种情况，根据相似三角形的对应边的比相等就可以求出．

解答： 解：（1）方法一：

∵B点坐标为（0.2），

∴OB=2，

∵矩形CDEF面积为8，

∴CF=4．

∴C点坐标为（﹣2，2）．F点坐标为（2，2）．

设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c．

其过三点A（0，1），C（﹣2.2），F（2，2）．

得，

解这个方程组，得a=，b=0，c=1，

∴此抛物线的解析式为y=x2+1．（3分）

方法二：

∵B点坐标为（0.2），

∴OB=2，

∵矩形CDEF面积为8，

∴CF=4．

∴C点坐标为（﹣2，2），

根据题意可设抛物线解析式为y=ax2+c．

其过点A（0，1）和C（﹣2.2）

解这个方程组，得a=，c=1

此抛物线解析式为y=x2+1．

 

（2）①证明：如图（2）过点B作BN⊥PS，垂足为N．

∵P点在抛物线y=x2+1上．可设P点坐标为（a，a2+1）．

∴PS=a2+1，OB=NS=2，BN=﹣a．

∴PN=PS﹣NS=，

在Rt△PNB中．

PB2=PN2+BN2=（a2﹣1）2+a2=（a2+1）2

∴PB=PS=．（6分）

②根据①同理可知BQ=QR．

∴∠1=∠2，

又∵∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

同理∠SBP=∠5（7分）

∴2∠5+2∠3=180°

∴∠5+∠3=90°

∴∠SBR=90度．

∴△SBR为直角三角形．（8分）

③方法一：如图（3）作QN⊥PS，

设PS=b，QR=c，

∵由①知PS=PB=b．QR=QB=c，PQ=b+c．PN=b﹣c．

∴QN2=SR2=（b+c）2﹣（b﹣c）2

∴．（9分）

假设存在点M．且MS=x，则MR=．

若使△PSM∽△MRQ，

则有．

即x2﹣2x+bc=0

∴．

∴SR=2

∴M为SR的中点．（11分）

若使△PSM∽△QRM，

则有．

∴．

∴．

∴M点即为原点O．

综上所述，当点M为SR的中点时．△PSM∽△MRQ；

当点M为原点时，△PSM∽△MRQ．（13分）

方法二：

若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点的三角形相似，

∵∠PSM=∠MRQ=90°，

∴有△PSM∽△MRQ和△PSM∽△QRM两种情况．

当△PSM∽△MRQ时．∠SPM=∠RMQ，∠SMP=∠RQM．

由直角三角形两锐角互余性质．知∠PMS+∠QMR=90度．

∴∠PMQ=90度．（9分）

取PQ中点为T．连接MT．则MT=PQ=（QR+PS）．（10分）

∴MN为直角梯形SRQP的中位线，

∴点M为SR的中点（11分）

∴=1

当△PSM∽△QRM时，

∴QB=BP

∵PS∥OB∥QR

∴点M为原点O．

综上所述，当点M为SR的中点时，△PSM∽△MRQ；

当点M为原点时，△PSM∽△QRM．（13分）