Question

二项式(2

x

-

1

x

)10展开式中，所有有理项（不含

x

的项）的系数之和为（　　）

• A．

  310+1

  2

• B．

  310-1

  2

• C．2¹⁰
• D．2⁹

Answer 1

分析：先利用二项展开式的通项公式求出(2

x

-

1

x

)10与（2x-1）¹⁰ 展开式的通项，判断出(2

x

-

1

x

)10展开式的系数与（2x-1）¹⁰ 展开式的系数对应相等，然后通过赋值法求出（2x-1）¹⁰ 展开式中所有奇数项系数之和即可．

解答：解：(2

x

-

1

x

)10展开式的通项为Tr+1=210-r(-1)r

C

r 10

x5-

3r

2

，
又因为（2x-1）¹⁰ 展开式的通项为Tr+1′=Tr+1=210-r(-1)r

C

r 10

 x10-r，
所以(2

x

-

1

x

)10展开式的系数与（2x-1）¹⁰ 展开式的系数对应相等，
所以可以转化为求（2x-1）¹⁰ 展开式中所有奇数项系数之和，
所以当r为偶数时，为展开式的有理项，
所以展开式的奇数项为展开式的有理项，
令（2x-1）¹⁰=a0+a1x+a2x2+…+anxn，
令x=1得1=a₀+a₁+a₂+…+a_n，
令x=-1得，3¹⁰=a₀-a₁+a₂-a₃…+a_n
两式相加得3¹⁰+1=2（a₀+a₂+a₄+…），
所以a0+a2+a4+…=

310+1

2

，
故选A．

点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题；考查通过赋值法求二项展开式的系数和问题；考查等价转化的数学思想方法，属于中档题．