Question

在矩形纸片内取n(n∈N^*)个点,连同矩形的4个顶点共(n+4)个点.这(n+4)个点中无三点共线.以这些点作三角形的顶点,把矩形纸片剪成若干个三角形纸片,把这些三角形纸片的个数记为a_n.

（1）求a₁,a₂;

(2)求数列{a_n}的递推公式;

(3)根据递推公式写出数列{a_n}的前6项.

Answer 1

解：(1)a₁=4,a₂=6.

(2)因为这(n+4)个点中无三点共线,所以每增加1个点A_i(如上图,点A_i必在某一个三角形内),剪成的三角形纸片必新增加3个(如上图中的Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ),但减少了原来的1个,实际增加2个,所以{a_n}的递推公式是a_n=a_n-1+2(n≥2).

(3)a₁=4,a₂=a₁+2=4+2=6,

a₃=a₂+2=6+2=8,a₄=a₃+2=8+2=10,

a₅=a₄+2=10+2=12,a₆=a₅+2=12+2=14.