Question

已知：命题p：函数g（x）的图象与函数f（x）=1-3x的图象关于直线y=x对称，且|g（a）|＜2．命题q：集合A={x|x²+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}，且A∩B=∅．求实数a的取值范围，使命题p、q有且只有一个是真命题．

Answer 1

分析：据关于y=x对称的两个函数互为反函数求出g（x），解绝对值不等式求出命题p为真命题时a的范围，根据两集合的交集为∅时，对集合A分类讨论：A=∅时，△＜0；A≠∅时，即方程的根为非正根求出q为真命题时a的范围；命题p、q有且只有一个是真命题，分类讨论求出a的范围．

解答：解：若命题p是真命题则有
因为f（x）=1-3x，所以g(x)=

1-x

3

由|g（a）|＜2，得|

1-a

3

|＜2，解得-5＜a＜7
若命题q为真命题则有
∵A∩B=∅，且B={x|x＞0}，故集合A应分为A=∅和A≠∅两种情况
当A=∅时，△=（a+2）²-4＜0，解得-4＜a＜0
当A≠∅时，

△=(a+2)2-4≥0 x1+x2=-(a+2)＜0

解得a≥0
故a＞-4
若p真q假，则-5＜a≤4，
若p假q真，则a≥7
使命题p、q有且只有一个是真命题实数a的取值范围为（-5，4]∪[7，+∞），

点评：本题考查复合命题的真假与组成其简单命题的真假的关系．