Question

（A）已知p：方程x²+mx+1=0有两个不相等的实数根；q：方程x²-4x-m=0没有实数根．若p且q为真命题，求实数m的取值范围．
（B）已知p：方程x²+mx+1=0有两个不相等的实数根；q：方程x²-4x-m=0没有实数根．若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（A）方程x²+mx+1=0有两个不相等的实数根
即△=m²-4＞0，m＜-2或者m＞2
方程x²-4x-m=0没有实数根
即△=16+4m＜0，m＜-4
P且q为真命题，故p，q都为真命题．
故m＜-4即m∈（-∞，-4）
（B）方程x²+mx+1=0有两个不相等的实数根
即△=m²-4＞0，m＜-2或者m＞2
方程x²-4x-m=0没有实数根
即△=16+4m＜0，m＜-4
p或q为真命题，p且q为假命题，故p真q假或者p假q真
若p真q假，则-4≤m＜-2或者m＞2
若p假q真，则无实数解
故-4≤m＜-2或者m＞2即m∈[-4，-2）∪（2，+∞）．
分析：（A）根据一元二次方程根的个数与△的关系，我们可以求出命题p为真命题时，参数m的取值范围，及命题q为真时，参数m的取值范围，进而根据p且q为真命题，则命题p和命题q均为真命题，求出实数m的取值范围．
（B）根据一元二次方程根的个数与△的关系，我们可以求出命题p为真命题时，参数m的取值范围，及命题q为真时，参数m的取值范围，进而根据p或q为真命题，p且q为假命题，可知命题p与命题q中一个为真，一个为假，进而分类讨论后，即可得到答案．
点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中根据一元二次方程根的个数与△的关系，分别求出命题p为真命题时，及命题q为真时，参数m的取值范围，是解答本题的关键．