Question

8．如图，已知平行四边形ABCD，点M₁，M₂，M₃，…，M_n-1和N₁，N₂，N₃，…，N_n-1分别将线段BC和DCn等分（n∈N^*，n≥2），若$\overrightarrow{A{M}_{1}}$$+\overrightarrow{A{M}_{2}}$+…$+\overrightarrow{A{M}_{n-1}}$+$\overrightarrow{A{N}_{1}}$$+\overrightarrow{A{N}_{2}}$+…$+\overrightarrow{A{N}_{n-1}}$=30$\overrightarrow{AC}$，则n=（　　）

• A． 20
• B． 21
• C． 22
• D． 23

Answer 1

分析 如图所示，利用向量的三角形法则可得：$\overrightarrow{A{M}_{n-1}}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{n-1}{n}$$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{A{N}_{n-1}}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{n-1}{n}$$\overrightarrow{DC}$．相加即可得出答案．

解答 解：如图所示，
∵点M₁，M₂，M₃，…，M_n-1和N₁，N₂，N₃，…，N_n-1分别将线段BC和DC进行n等分，
∴$\overrightarrow{A{M}_{n-1}}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{n-1}{n}$$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{A{N}_{n-1}}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{n-1}{n}$$\overrightarrow{DC}$．
∴$\overrightarrow{A{M}_{1}}$$+\overrightarrow{A{M}_{2}}$+…$+\overrightarrow{A{M}_{n-1}}$+$\overrightarrow{A{N}_{1}}$$+\overrightarrow{A{N}_{2}}$+…$+\overrightarrow{A{N}_{n-1}}$=n（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）+（$\frac{1}{n}$+$\frac{2}{n}$+…+$\frac{n-1}{n}$）（$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{DC}$）
=n（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）+（$\frac{1}{n}$+$\frac{2}{n}$+…+$\frac{n-1}{n}$）（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）
=$\frac{3（n-1）}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）
=$\frac{3（n-1）}{2}$$\overrightarrow{AC}$=30$\overrightarrow{AC}$，
解得n=21．
故选：B．

点评 本题考查了向量的三角形法则、等差数列的前n项和公式、向量的平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．