Question

设a为实常数，函数f（x）=-x³+ax²-4．
（1）若函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为

π

4

，求函数f（x）的单调区间；
（2）若存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞0，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，然后再根据切线的倾斜角求出切线的斜率，两个斜率相等即可求出a的值，把a的值代入导函数确定出导函数，令导函数大于0，求出x的取值范围即为函数的递增区间，令导函数小于0求出x的范围即为函数的递减区间；
（2）求出f（x）的导函数，当a小于等于0时，由x大于0，得到导函数小于0，即函数在（0，+∞）上为减函数，又x=0时f（x）的值为-4且当x大于0时，f（x）小于-4，所以当a小于等于0时，不存在x₀＞0，使f（x₀）＞0；当a大于0时，分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到f（x）的最大值，让最大值大于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，综上，得到满足题意的z的取值范围．

解答：解：（1）f′（x）=-3x²+2ax．根据题意f′（1）=tan

π

4

=1，
∴-3+2a=1，即a=2．∴f′（x）=-3x²+4x=-3x(x-

4

3

)．
当f′（x）＞0，得x(x-

4

3

)＜0，即0＜x＜

4

3

；当f′（x）＜0，得x(x-

4

3

)＞0，即x＜0或x＞

4

3

．
∴f′（x）的单调递增区间是(0，

4

3

)，单调递减区间是（-∞，0）∪(

4

3

，+∞)；
（2）f′（x）=-3x(x-

2a

3

)．
①若a≤0，当x＞0时，f′（x）＜0，从而f（x）在（0，+∞）上是减函数，
又f（0）=-4，则当x＞0时，f（x）＜-4．
∴当a≤0时，不存在x₀＞0，使f（x₀）＞0；
②当a＞0，则当0＜x＜

2a

3

时，f′（x）＞0，当x＞

2a

3

时，f′（x）＜0．
从而f（x）在(0，

2a

3

)上单调递增，在(

2a

3

，+∞)上单调递减．
∴当x∈（0，+∞）时，f（x）_max=f(

2a

3

)=-

8a3

27

+

4a3

9

-4=

4a3

27

-4．
据题意，

4a3

27

-4＞0，即a³＞27，∴a＞3．
故a的取值范围是（3，+∞）．

点评：此题考查学生利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调性，是一道中档题．