Question

设椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其长轴长是短轴长的

2

倍，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为2

3

．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过右焦点F₂且与x轴不垂直的直线l交椭圆E于P，Q两点，在线段OF₂（O为坐标原点）上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意先求出直线与椭圆的交点坐标，再列出方程求出a、b的值，代入椭圆方程即可；
（2）先假设存在点M（m，0）（0＜m＜

6

）满足条件，由点斜式设出直线l的方程，以及P、Q的坐标，将直线方程代入椭圆方程化简后，利用韦达定理、菱形的等价条件、向量知识，可求出m的范围，再进行判断．

解答： 解：（1）不妨设焦点的坐标是（c，0），
则过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆的交点坐标为（c，y₀），
代入

x2

a2

+

y2

b2

=1可得，y₀=±

b2

a

，
因为过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为2

3

，
所以2×

b2

a

=2

3

，
由题意得，a=

2

b，代入上式解得：a=2

3

、b=

6

，
故所求椭圆方程为

x2

12

+

y2

6

=1．

（2）假设在线段OF₂上存在点M（m，0）（0＜m＜

6

）满足条件，
∵直线与x轴不垂直，
∴设直线l的方程为y=k(x-

6

)(k≠0)．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

x2 12 + y2 6 =1 y=k(x- 6 )

，可得(1+2k2)x2-4

6

k2x+12k2-12=0．
则x1+x2=

4 6 k2

1+2k2

，x1•x2=

12k2-12

1+2k2

．
∴

MP

=(x1-m，y1)，

MQ

=(x2-m，y2)，

PQ

=(x2-x1，y2-y1)，其中x₂-x₁≠0，
∵以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形，
∴(

MP

+

MQ

)⊥

PQ

?(

MP

+

MQ

)•

PQ

=0．
∴（x₁+x₂-2m）（x₂-x₁）+（y₁+y₂）（y₂-y₁）=0．
∴x₁+x₂-2m+k（y₁+y₂）=0．
∴

4 6 k2

1+2k2

-2m+k2(

4 6 k2

1+2k2

-2

6

)=0．
化简得m=

6 k2

1+2k2

=

6

1 k2 +2

（k≠0），
则m∈(0，

6

2

)
在线段OF₂上存在点M（m，0）符合条件，且m∈(0，

6

2

)．

点评：本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理的运用，以及平面向量的知识，考查化简、计算能力以及存在性的问题，属于中档题．