Question

如图，在底面是菱形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=60°，SA=AB=a，SB=SD=

2

SA，点P在SD上，且SD=3PD．
（1）证明SA⊥平面ABCD；
（2）设E是SC的中点，求证BE∥平面APC．

Answer 1

分析：（1）在△SAB中，利用勾股定理可证SA⊥AB，同理可证SA⊥AD，利用线面垂直的判定定理即可证明SA⊥平面ABCD；
（2）连BD，设BD与AC交于O，连OP，取SP的中点M，易证平面BME∥平面PAC，从而可得BE∥平面APC．

解答：证明：（1）证明：因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
所以AB=AC=AD=a
在△SAB中，由SA²+AB²=2a²=SB²，知SA⊥AB，
同理SA⊥AD．
所以SA⊥平面ABCD．…（6分）
（2）连BD，设BD与AC交于O，连OP，O显然平分BD，
取SP的中点M，
∵SD=3PD，
∴SM=MP=PD．…（8分）
因此，BM∥OP，又E是SC的中点，故EM∥CP．
从而平面BME∥平面PAC．
又BE?平面BME，故BE∥平面PAC．…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，考查面面垂直的性质，着重考查推理证明的能力，属于中档题