Question

【题目】已知某工厂每天的固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为a元时，生产x件产品的销售收入为（元），为每天生产x件产品的平均利润（平均利润=总利润/总产量）.销售商从工厂每件a元进货后又以每件b元销售，，其中c为最高限价，为该产品畅销系数.据市场调查，由当是的比例中项时来确定.

（1）每天生产量x为多少时，平均利润取得最大值？并求出的最大值；

（2）求畅销系数的值；

（3）若，当厂家平均利润最大时，求a与b的值.

Answer 1

【答案】（1）每天生产量为400件时平均利润最大，最大值为200元；（2）；（3），.

【解析】

（1）先求出总利润＝，依据（平均利润＝总利润/总产量）可得，利用均值不等式得最大利润；

（2）由已知得，结合比例中项的概念可得，两边同时除以将等式化为的方程，解出方程即可；

（3）利用平均成本平均利润，结合厂家平均利润最大时（由（1）的结果）可得的值，利用可得的值.

（1）由题意得，总利润为.

于是

当且仅当即时等号成立.

故每天生产量为400件时平均利润最大，最大值为200元.

（2）由可得，

由是的比例中项可知，

即

化简得，解得.

（3）厂家平均利润最大，生产量为件.

.

（或者）

代入可得.

于是，.