Question

21、已知函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1，常数α为方程f（x）=x的实数根．
（1）求证：当x＞α时，总有x＞f（x）成立；
（2）若函数f（x）的定义域为I，对任意[a，b]⊆I，存在x₀∈[a，b]，使等式f（b）-f（a）=（b-a）f′（x₀）成立，求证：方程f（x）=x不存在异于α的实数根．

Answer 1

分析：（1）欲比较x与f（x）的大小，先构造函数h（x）=x-f（x），根据条件可知h（x）为增函数，求出h（x）在（α，+∞）上的最小值即可；
（2）用反证法进行证明，假设方程f（x）=x有异于α的实根β，由题意在α与β之间必存在一点c，α＜c＜β，使等式β-α=f（β）-f（α）=（β-α）f'（c）成立，而α≠β，所以必有f'（c）=1，但这与0＜f'（x）＜1矛盾，得到结论．

解答：解：（1）令h（x）=x-f（x），
∵h'（x）=1-f'（x）＞0，
∴h（x）为增函数．
又∵h（α）=α-f（α）=0，
∴当x＞α时，h（x）＞0，即x＞f（x）．
（2）假设方程f（x）=x有异于α的实根β，即f（β）=β，
不妨设β＞α，则β-α=f（β）-f（α），
由题意在α与β之间必存在一点c，α＜c＜β，
使等式β-α=f（β）-f（α）=（β-α）f'（c）成立，
因为α≠β，所以必有f'（c）=1，但这与0＜f'（x）＜1矛盾．
因此，方程f（x）=x不存在异于α的实数根．

点评：本题要求会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值，以及考查反证法的运用，属于中档题．