Question

17．现有下列五个命题：①|$\overrightarrow{a}$|²=$\overrightarrow{a}$²；②$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{{\overrightarrow{a}}^{2}}$=$\frac{\overrightarrow{b}}{\overrightarrow{a}}$；③（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}$•${\overrightarrow{b}}^{2}$；④（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$；⑤若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，则$\overrightarrow{a}$=0或$\overrightarrow{b}$=0．其中正确命题的个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 利用平面向量的数量积公式逐个判断，得出结论．

解答 解：∵${\overrightarrow{a}}^{2}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overline{a}$|cos0=|$\overrightarrow{a}$|²，故①正确；∵$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{{\overrightarrow{a}}^{2}}$表示一个数，而当$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$不共线时，$\frac{\overrightarrow{b}}{\overrightarrow{a}}$无意义，故②错误；
设$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角为θ，∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•cosθ，∴（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}$•${\overrightarrow{b}}^{2}$cos²θ，故③错误；
∵平面向量的数量积运算符合乘法公式，故④正确；
∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•cosθ=0，∴|$\overrightarrow{a}$|=0或|$\overrightarrow{b}$|=0或cosθ=0．即$\overrightarrow{a}$=0或$\overrightarrow{b}$=0或$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$．故⑤错误．
故选：C．

点评 本题考查了平面向量的数量积定义及性质，属于基础题．