Question

【题目】已知点在圆： 上，而为在轴上的投影，且点满足，设动点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）若是曲线上两点，且， 为坐标原点，求的面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：

由可知，N为中点，用相关点法可以求出N点的轨迹方程。

分斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，设直线方程为： ，与椭圆组方程组，利用弦长公式和韦达定理建立k，t的关系式。再利用点到直线的距离公式和面积公式用k,t表示三角形面积，消t，换元可解。

试题解析：

（1）设, 轴，所以

又设,由有代入即曲线的方程为

（2）设， ，直线方程为： ，

联立得，故，

由4，得，

故原点到直线的距离，∴，

令，则，又∵， 当.

当斜率不存在时， 不存在，综合上述可得面积的最大值为1.