解析:本题与实际生活紧密相关,主要考查学生能否将所学数学知识应用于实际生活中来解决相关的问题,并注意曲线的普通方程与参数方程之间的关系.
解:由声速为340米/秒可知F1、F2两处与爆炸点的距离差为340×=6 000米.?
因此爆炸点在以F1、F2为焦点的双曲线上.?
因为爆炸点离F1处比F2处更远,
所以爆炸点D应在靠近F2处的一支上.?
设爆炸点P的坐标为(x,y),则PF1-PF2=6 000,?
即2a=6 000,a=3 000,而c=5 000,?
∴b2=5 0002-3 0002=4 0002.?
又PF1-PF2=6 000>0,?
∴x>0.?
∴所求的双曲线方程为=1(x>0).?
故所求曲线的参数方程为〔θ∈(-,)〕.
点评:在F1处听到爆炸声比F2处晚秒,相当于爆炸点离F1的距离比F2远6 000米,这是解应用题的第一关——审题关;根据审题结合数学知识知爆炸点所在的曲线是双曲线,这是解应用题的第二关——文化关(用数学文化反映实际问题);借助双曲线的标准方程写出爆炸点的轨迹方程是解决应用题的第三关——数学关(用数学知识解决第二关提出的问题).
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(1)爆炸点应在什么样的曲线上?
(2)已知A、B两地相距800 m,并且此时声速为340 m/s,求曲线的方程.
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