Question

4．设数列{a_n}是首项为4，公差为1的等差数列，S_n为数列{b_n}的前n项和，且S_n=n²+2n．
（1）求数列{a_n}及{b_n}的通项公式a_n和b_n；
（2）f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n为正奇数}\\{{b}_{n}，n为正偶数}\end{array}\right.$，是否存在k∈N₊使f（k+27）=4f（k）成立？若存在求k的；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式可得a_n．由于S_n为数列{b_n}的前n项和，且S_n=n²+2n．利用递推关系可得b_n．
（2）假设存在k∈N₊使f（k+27）=4f（k）成立．对k分类讨论，利用f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n为正奇数}\\{{b}_{n}，n为正偶数}\end{array}\right.$，得出关于k的方程，解出即可判断出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}是首项为4，公差为1的等差数列，∴a_n=4+（n-1）×1=n+3．
∵S_n为数列{b_n}的前n项和，且S_n=n²+2n．
∴当n=1时，b₁=3；
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=（n²+2n）-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1．
当n=1时，上式也成立．
∴b_n=2n+1．
（2）假设存在k∈N₊使f（k+27）=4f（k）成立．
当k为正偶数时，k+27+3=4（2k+1），解得k=$\frac{26}{7}$，舍去．
当k为正奇数时，2（k+27）+1=4（k+3），解得k=$\frac{43}{2}$，舍去．
综上可得：不存在k∈N₊使f（k+27）=4f（k）成立．

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．