Question

定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：①f（x）=2f（x-1）+1；②当-1＜x≤0，f（x）=x²-ax-a，其中常数a＞0
（1）若a=1，求f（

1

2

），f（1）的值；
（2）当0＜x＜1时，求f（x）的解析式；
（3）讨论函数f（x）在（-1，1）上的零点个数．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由a=1，根据f（x）=2f（x-1）+1求得f（

1

2

）=2f（-

1

2

）+1以及f（1）=2f（0）+1的值．
（2）当0＜x＜1时，有-1＜x-1＜0，可得f（x）=2f（x-1）+1=2[（x-1）²-（x-1）+1]+1化简可得结果．
（3）当-1＜x≤0，根据函数的单调性以及函数零点的判定定理求得函数（-1，0]上有唯一零点．同理求得函数（0，1）上的零点个数，综合可得结论．

解答： 解：（1）设0＜x≤1，则-1＜x-1≤0，由f（x）=2f（x-1）+1，
可得f（

1

2

）=2f（-

1

2

）+1=2（

1

4

+

1

2

-1）+1=

1

2

，
f（1）=2f（0）+1=2•（-1）+1=-1．
（2）当0＜x＜1时，有-1＜x-1＜0，
∴f（x）=2f（x-1）+1=2[（x-1）²-a（x-1）-a]+1=2x²-（4+a）x+3．
（3）①当-1＜x≤0，由a＞0，可得f（x）=x²-ax-a=(x-

a

2

)2-

a2

4

-a 在（-1，0]上单调递减，
f（-1）=1，f（0）=-a，满足f（-1）f（0）＜0，故函数（-1，0]上有唯一零点．
②当0＜x＜1时，f（x）=2x²-（4+a）x+3的图象的对称轴方程为x=1+

a

4

＞1，
f（x）在（0，1）上单调递减，f（1）=1-a，f（0）=3．
若a＞1，则满足f（-1）f（0）＜0，故函数（0，1）上有唯一零点，
故函数f（x）在（-1，1）上的零点个数为2；
若a≤1，则f（1）≥0，函数（0，1）上有无零点，函数f（x）在（-1，1）上的零点个数为1；

点评：本题主要考查求函数的解析式，函数零点的判定定理、二次函数的性质，方程的根的存在性及个数判断，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于基础题．