如图，在四棱锥
中,
底面
,且底面为正方形,
分别为
的中点．
（1）求证:
平面
;
（2）求平面
和平面
的夹角.
（1）详见解析；（2）
．
解析试题分析：（1）证明直线平面，证明线面平行，首先证明线线平行，可用三角形的中位线平行，也可用平行四边形的对边平行，还可以利用面面平行的性质，本题由于
分别为的中点，可得
，
，容易证明平面
平面
，可得直线平面；本题还可用向量法，由于底面,且底面为正方形,可以
为原点,以
分别为
轴，建立空间坐标系，由题意写出各点的坐标，从而得
，设平面的法向量为
，求出一个法向量，计算出
，即可；（2）求平面和平面的夹角，可用向量法，由（1）解法二可知平面的法向量，由题意可知：
平面
，故向量
是平面
的一个法向量,利用夹角公式即可求出平面和平面的夹角.
试题解析：（1）如图，以为原点,以为方向向量
建立空间直角坐标系
则
.
. 4分
设平面的法向量为
即
令
, 首发
则
. 4分
又
平面
平面
6分
（2）
底面是正方形,
又
平面 
又
,
平面。 8分
向量是平面的一个法向量,
又由（1）知平面的法向量. 10分
二面角
的平面角为.
单元期中期末卷系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，四棱锥
的底面是正方形，侧棱
底面
，过
作
垂直
交于
点，作
垂直
交于
点，平面
交
于
点，且
，
.
（1）设点
是
上任一点，试求
的最小值；
（2）求证：、在以
为直径的圆上；
（3）求平面
与平面所成的锐二面角的余弦值.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝
，AF＝1，M是线段EF的中点．
求证：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知正方形ABCD的边长为2,AC∩BD=O.将正方形ABCD沿对角线BD折起,使AC=a,得到三棱锥A-BCD,如图所示.
(1)当a=2时,求证:AO⊥平面BCD.
(2)当二面角A-BD-C的大小为120°时,求二面角A-BC-D的正切值.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图甲，△ABC是边长为6的等边三角形，E，D分别为AB、AC靠近B、C的三等分点，点G为BC边的中点．线段AG交线段ED于F点，将△AED沿ED翻折，使平面AED⊥平面BCDE，连接AB、AC、AG形成如图乙所示的几何体。
（1）求证BC⊥平面AFG；
（2）求二面角B－AE－D的余弦值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图(1)，四边形ABCD中，E是BC的中点，DB＝2，DC＝1，BC＝
，AB＝AD＝
.将图(1)沿直线BD折起，使得二面角ABDC为60°，如图(2)．
(1)求证：AE⊥平面BDC；
(2)求直线AC与平面ABD所成角的余弦值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，四边形ABEF和四边形ABCD均是直角梯形，∠FAB＝∠DAB＝90°，AF＝AB＝BC＝2，AD＝1，FA⊥CD.
(1)证明：在平面BCE上，一定存在过点C的直线l与直线DF平行；
(2)求二面角FCDA的余弦值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=2，请建立空间直角坐标系解决下列问题．
（1）求证：
；（2）求直线
与平面
所成角的正弦值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
三棱柱ABC－A1B1C1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB＝2，AC＝4，A1A＝3.D是BC的中点．
(1)求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；
(2)求二面角B1-A1D-C1的正弦值．
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