【题目】如图所示,已知点,过点作直线、与圆:和抛物线:都相切.
(1)求抛物线的两切线的方程;
(2)设抛物线的焦点为,过点的直线与抛物线相交于、两点,与抛物线的准线交于点(其中点靠近点),且,求与的面积之比.
【答案】(1);(2)面积比.
【解析】
(1)设过点的直线,利用直线与圆相切的性质、结合点到直线的距离公式,最后求出切线方程;
(2)由(1)可知圆的切线与抛物线也相切,利用方程思想可以求出抛物线的标准方程,利用抛物线的定义可以求出点坐标,进而可以求出、两点坐标,最后求出面积比即可.
(1)设过点的直线方程为:,圆:的圆心为,半径为1,该直线与圆相切,所以有:
,因此圆的切线方程为,即两条切线方程分别为:;
(2)由(1)可知:直线与相切,
所以方程的判别式为零,
即,所以抛物线的方程为:,准线方程为:,设点坐标为:,因为,所以由抛物线的定义可知:
,因此可得,而靠近点,所以点为,直线的方程为:,所以或,因此点坐标为,直线与抛物线的准线交于点,所以,点坐标为,
与的面积之比为:,所以它们的面积比为:2:5.
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【题目】某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管,随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查,并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)按照,,,,分成5组,制成如图所示频率分直方图.
(1)求图中的值及这组数据的众数;
(2)已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为,若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈,求2人均为男生的概率.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线上的动点到点的距离减去到直线的距离等于1.
(1)求曲线的方程;
(2)若直线 与曲线交于,两点,求证:直线与直线的倾斜角互补.
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【题目】若函数在处取得极大值或极小值,则称为函数的极值点.设函数.
(1)若函数在上无极值点,求的取值范围;
(2)求证:对任意实数,在函数的图象上总存在两条切线相互平行;
(3)当时,若函数的图象上存在的两条平行切线之间的距离为4,问;这样的平行切线共有几组?请说明理由.
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【题目】已知以椭圆:的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线:与椭圆交于异于椭圆顶点的,两点,为坐标原点,直线与椭圆的另一个交点为点,直线和直线的斜率之积为1,直线与轴交于点.若直线,的斜率分别为,,试判断是否为定值,若是,求出该定值;若不是,说明理由.
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【题目】某比赛为甲、乙两名运动员制订下列发球规则:规则一:投掷一枚硬币,出现正面向上,甲发球,否则乙发球;规则二:从装有个红球与个黑球的布袋中随机地取出个球,如果同色,甲发球,否则乙发球;规则三:从装有个红球与个黑球的布袋中随机地取出个球,如果同色,甲发球,否则乙发球.
其中对甲、乙公平的规则是( )
A.规则一和规则二B.规则一和规则三C.规则二和规则三D.规则二
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【题目】随着移动互联网的发展,与餐饮美食相关的手机软件层出不穷.为调查某款订餐软件的商家的服务情况,统计了10次订餐“送达时间”,得到茎叶图如下:(时间:分钟)
(1)请计算“送达时间”的平均数与方差:
(2)根据茎叶图填写下表:
送达时间 | 35分组以内(包括35分钟) | 超过35分钟 |
频数 | A | B |
频率 | C | D |
在答题卡上写出,,,的值;
(3)在(2)的情况下,以频率代替概率.现有3个客户应用此软件订餐,求出在35分钟以内(包括35分钟)收到餐品的人数的分布列,并求出数学期望.
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【题目】某精准扶贫帮扶单位,为帮助定点扶贫村真正脱贫,坚持扶贫同扶智相结合,帮助精准扶贫户利用互联网电商渠道销售当地特产苹果.苹果单果直径不同单价不同,为了更好的销售,现从该精准扶贫户种植的苹果树上随机摘下了50个苹果测量其直径,经统计,其单果直径分布在区间[50,95]内(单位:),统计的茎叶图如图所示:
(Ⅰ)按分层抽样的方法从单果直径落在[80,85),[85,90)的苹果中随机抽取6个,再从这6个苹果中随机抽取2个,求这两个苹果单果直径均在[85,90)内的概率;
(Ⅱ)以此茎叶图中单果直径出现的频率代表概率.已知该精准扶贫户有20000个约5000千克苹果待出售,某电商提出两种收购方案:
方案:所有苹果均以5.5元/千克收购;
方案:按苹果单果直径大小分3类装箱收购,每箱装25个苹果,定价收购方式为:单果直径 在[50,65)内按35元/箱收购,在[65,90)内按50元/箱收购,在[90,95]内按35元/箱收购.包装箱与分拣装箱工费为5元/箱.请你通过计算为该精准扶贫户推荐收益最好的方案.
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