Question

2．当a，b在实数范围内变化时，函数f（x）=acosx+bsinx的全体记为集合M．
（1）求证：当a₁=a₂，b₁=b₂（a₁，a₂，b₁，b₂∈R）不同时成立时，f₁（x）=a₁cosx+b₁sinx和f₂（x）=a₂cosx+b₂sinx是集合M中的两个不同的元素；
（2）若f₀（x）=a₀cosx+b₀sinx∈M，对任意t∈R，函数f₀（x+t）的全体记为集合A，证明：A⊆M．

Answer 1

分析 （1）利用反证法证明即可；（2）代入表达式得到f₀（x+t）=atcosx+btsint∈M，从而得到结论．

解答 （1）：反证法，假设f₁（x）=f₂（x）
（a₁-a₂）cosx+（b₁-b₂）sinx=0
M中元素样式中，x是变量，cosx有不为零的可能，当cosx≠0时，
（a₁-a₂）+（b₁-b₂）tanx=0，
∵以tanx为变量的一元一次方程有无数个解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{-a}_{2}=0}\\{{{b}_{1}-b}_{2}=0}\end{array}\right.$⇒a₁=a₂且b₁=b₂，
与a₁，a₂，b₁，b₂不同时相等矛盾；
（2）对于任意的t，
f₀（x+t）
=a₀cos（x+t）+b₀sin（x+t）
=a₀（cosxcost-sinxsint）+b₀（sinxcost+cosxsint）
=（a₀cost+b₀sint）cosx+（b₀cost-a₀sint）sint，
令a₀cost+b₀sint=at，b₀cost-a₀sint=bt，
则f₀（x+t）
=（a₀cost+b₀sint）cosx+（b₀cost-a₀sint）sint
=atcosx+btsint∈M，
原命题得证．

点评 本题考查了反证法，元素和集合、集合和集合的关系，是一道中档题．