【题目】已知函数,.,e为自然对数的底数.
(1)如果函数在(0,)上单调递增,求m的取值范围;
(2)若直线是函数图象的一条切线,求实数k的值;
(3)设,,且,求证:.
【答案】(1)(2)1(3)见解析。
【解析】
(1)依题意h′(x)=ex﹣2mx≥0(0,+∞)上恒成立.即在(0,+∞)上恒成立.即求函数的最小值即可;(2)设切点,则切线方程为则进而得到,令对函数求导得到函数的单调性和零点即可得到k值(3):要证,只要证,两边同时除以令x2﹣x1=t,t>0,即证(t﹣2)et+t+2>0,利用=(t﹣2)et+t+2,(t>0)单调性即可证明
:(1),
要使在上单调递增,则在上恒成立.
∴,∴,令,
当时,,单调递减,当时,,单调递增
∴当x=1时,有最小值为,∴
(2)∵,∴,设切点为,则
∴,令,
∴时,,单调递减,当k>1时,,单调递增
∴k=1时,,∴时,k=1.∴实数k的值为1.
(3)要证
只要证,两边同时除以得:
,令得:
所以只要证:,令
∴,,∴
即,∴原不等式成立.
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【题目】甲乙两个同学进行定点投篮游戏,已知他们每一次投篮投中的概率均为,且各次投篮的结果互不影响.甲同学决定投5次,乙同学决定投中1次就停止,否则就继续投下去,但投篮次数不超过5次.
(1)求甲同学至少有4次投中的概率;
(2)求乙同学投篮次数的分布列和数学期望.
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【题目】(.(12分)在一次购物抽奖活动中,假设某10张券中有一等奖奖券1张,可获价值50元的奖品;有二等奖奖券3张,每张可获价值10元的奖品;其余6张没奖。某顾客从此10张奖券中任抽2张,求:
(1)该顾客中奖的概率;
(2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的概率分布列。
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【题目】甲、乙两名运动员进行射击训练,已知他们击中的环数都稳定在、、、环,且每次射击成绩互不影响.根据以往的统计数据,甲、乙射击环数的频率分布条形图如下:
若将频率视为概率,回答下列问题:
(1)甲、乙各射击一次,求甲、乙同时击中环的概率;
(2)求甲射击一次,击中环以上(含环)的概率;
(3)甲射击次,表示这次射击中击中环以上(含环)的次数,求的分布列及数学期望.
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