Question

已知二次函数f（x）有两个零点0和-2，且f（x）最小值是-1，函数g（x）与f（x）的图象关于原点对称．
（1）求f（x）和g（x）的解析式；
（2）若h（x）=f（x）-λg（x）在区间[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据二次函数的零点，利用待定系数法即可求f（x）和g（x）的解析式；
（2）根据h（x）=f（x）-λg（x）在区间[-1，1]上是增函数，确定对称轴和对应区间之间的关系，即可求实数λ的取值范围．

解答：解：（1）∵二次函数f（x）有两个零点0和-2，
∴设f（x）=ax（x+2）=ax+2ax（a＞0）．f（x）图象的对称轴是x=-1，
∴f（-1）=-1，即a-2a=-1，
∴a=1，
∴f（x）=x²+2x．
∵函数g（x）的图象与f（x）的图象关于原点对称，
∴g（x）=-f（-x）=-x²+2x．
（2）由（1）得h（x）=x²+2x-λ（-x²+2x）=（λ+1）x²+2（1-λ）x．
①当λ=-1时，h（x）=4x满足在区间[-1，1]上是增函数；
②当λ＜-1时，h（x）图象对称轴是x=

λ-1

λ+1

则

λ-1

λ+1

≥1，
又λ＜-1，解得λ＜-1；
③当λ＞-1时，同理需

λ-1

λ+1

≤-1，
又λ＞-1，解得-1＜λ≤0．
综上，满足条件的实数λ的取值范围是（-∞，0]．

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方法是解决本题的关键．