Question

给出下列四个命题：
①?α＞β，使得tanα＜tanβ；
②若f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，θ∈(

π

4

，

π

2

)，则f（sinθ）＞f（cosθ）；
③在△ABC中，“A＞

π

6

”是“sinA＞

1

2

”的充要条件；
④若函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=

1

2

x+2．则f（1）+f′（1）=3
其中所有正确命题的序号是

 

．

Answer 1

分析：由α=

3π

4

，β=

π

4

，易判断①的正误；
根据若f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，易得f（x）在[0，1]上是减函数，再结合θ∈(

π

4

，

π

2

)时，sinθ＞cosθ，可判断②的真假；
根据正弦函数的性质及三角形内角的范围限制，可判断③的对错；
由切线方程我们易求出切点坐标，进而得到f（1）+f′（1）的值，可判断④的正误．

解答：解：①中，当α=

3π

4

，β=

π

4

时，tanα＜tanβ成立，故①正确；
②中，∵f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，
∴f（x）在[0，1]上是减函数，
又∵θ∈(

π

4

，

π

2

)时，sinθ＞cosθ，
∴f（sinθ）＜f（cosθ），故②错误；
③中，当A=

5π

6

时，“A＞

π

6

”成立，但“sinA＞

1

2

”不成立
故③在△ABC中，“A＞

π

6

”是“sinA＞

1

2

”的充要条件错误；
④中，∵函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=

1

2

x+2
∴M点也在直线y=

1

2

x+2上，把X=1代入得y=

5

2

=f（1），
而f′（1）=

1

2

，则f（1）+f′（1）=3，故④正确
故答案：①④

点评：本题考查的知识点是正切函数的单调性，函数性质的综合应用，正弦函数的单调性，利用导数研究曲线上某点切线方程．我们利用上述知识点对4个结论逐一进行判断，即可得到答案．