Question

【题目】已知中心在原点的椭圆，右焦点（1，0），且过 ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：设椭圆方程为： =1，∵椭圆过（ ，0），

∴ =1，即a2=3，

∴椭圆方程为：

（2）解：依题意，设斜率为2的弦所在直线的方程为y=2x+b，弦的中点坐标为（x，y），

则由 y=2x+b 且 得：14x2+12bx+3b2﹣6=0，

∴x1+x2=﹣ ，即x= ，y= ，

两式消掉b得 y= x．

又弦的中点在椭圆内部，所以 ， ，

∴﹣ ，

故平行弦中点轨迹方程为：y= x（﹣

【解析】（1）根据椭圆右焦点坐标设出椭圆方程，再结合椭圆所过点的坐标求得椭圆方程；（2）先设出斜率为2的弦所在直线的一般方程及先中点的坐标，联立两个方程的到一元二次方程，利用跟鱼系数的关系表示出弦中点的坐标，进而求得其轨迹方程，再结合弦的中点在椭圆内部这一特点求得轨迹方程的定义域.
【考点精析】关于本题考查的椭圆的标准方程，需要了解椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能得出正确答案．