Question

解答下列问题：
（I）设f(x)=

x2-9

(x≤-3)，
（1）求f（x）的反函数f^-1（x）；
（2）若u1=1，un=-f-1(un-1)，(n≥2)，求un；
（3）若ak=

1

uk+uk+1

，k=1，2，3，…，求数列{an}的前n项和Sn．

Answer 1

分析：（1）根据反函数求解步骤直接求解．
（2）结合（1）得出un=-f-1(un-1)=

un-12+9

（n≥2），两边平方并移向得出un2-un-12=9，数列{u_n}是公差为9的等差数列，且首项u12=1，求出数列{un2}的通项公式后可得u _n
（3）ak=

1

9k-8 + 9k+1

=

1

9

(

9k+1

-

9k-8

)，这样裂项后求和．

解答：解：（1）由y=f(x)=

x2-9

(x≤-3)，两边平方得出y²=x²-9，移向得，x²=y²+9
∵x≤-3，∴两边开方得出x=-

y2+9

，（y≥0）
所以反函数为y=f-1(x)=-

x2+9

（x≥0）
（2）由un=-f-1(un-1)得出un=-f-1(un-1)=

un-12+9

（n≥2），两边平方并移向得出un2-un-12=9
所以数列{un2}是公差为9的等差数列，且首项u12=1，
un2=1+（n-1）×9=9n-8，
∵u_n＞0，∴un=

9n-8

（3）ak=

1

9k-8 + 9k+1

=

1

9

(

9k+1

-

9k-8

)，

∴Sn= 1 9 [( 10 -1)+( 19 - 10 )+…+( 9n+1 - 9n-8 )] = 1 9 ( 9n+1 -1)；

点评：本题考查数列、函数知识：函数与反函数，等差数列的判定，通项公式求解，数列求和．考查转化、变形构造、计算能力．