Question

9．数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$（n∈N⁺）
（1）求证{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列（要指出首项与公差）；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$（n∈N⁺）变形即得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，从而可得结论；
（2）通过（1）可知：$\frac{1}{{a}_{n}}$的表达式，取倒数后即得结论．

解答 （1）证明：∵a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$（n∈N⁺），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2{a}_{n}+1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+2，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，
又∵a₁=1，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为1、公差为2的等差数列；
（2）解：由（1）可知：$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴a_n=$\frac{1}{2n-1}$．

点评 本题考查求数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．