Question

【题目】已知抛物线的方程为，直线过定点，斜率为，为何值时，直线与抛物线

（1）只有一个公共点；

（2）有两个公共点；

（3）没有公共点?

Answer 1

【答案】（1）或或，（2）且，（3）或

【解析】

首先设出直线方程，联立直线方程与抛物线方程得到.

（1）将直线与抛物线只有一个公共点，转化为方程只有一个根，再讨论，再利用判别式求解即可.

（2）将直线与抛物线只有两个公共点，转化为方程只有两个根，再利用判别式求解即可.

（3）将直线与抛物线没有公共点，转化为方程无根，再利用判别式求解即可.

设直线的方程为：，即.

联立

（1）因为直线与抛物线只有一个公共点，

等价于方程只有一个根.

当时，，符合题意.

当时，，

整理得：，解得或.

综上可得：或或.

（2）因为直线与抛物线有两个公共点，

等价于方程只有两个根.

所以，，

即，解得且.

（3）因为直线与抛物线没有公共点，

等价于方程无根.

所以，，

即，解得或.