Question

（本小题满分12分）

两县城A和B相聚20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度 与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对称A和城B的总影响度为0.0065.（1）将y表示成x的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离，若不存在，说明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）在弧AB上存在一点，且此点到城市A的距离为

【解析】（1）如右图,由题意知AC⊥BC,,，

当垃圾处理厂建在弧AB的中点时,垃圾处理厂到A、B的距离都相等，且为

，所以有，解得，

∴

（2）∵==，

令，得，解得，即，

又因为，所以函数在上是减函数，

在上是增函数，∴当时，y取得最小值，

所以在弧AB上存在一点，且此点到城市A的距离为，使建在此处的垃圾处理厂对城市A、B的总影响度最小.