Question

已知与曲线C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直线l交x，y的正半轴与A、B两点，O为原点，|OA|=a，|OB|=b，（a＞2，b＞2）．
（1）求线段AB中点的轨迹方程；
（2）求ab的最小值．

Answer 1

分析：（1）设出线段AB中点坐标，利用截距式方程，直线与圆相切，求出AB中点的轨迹方程．
（2）利用（1）得到的a，b关系，然后求出ab的表达式，通过基本不等式求出最小值即可．

解答：解：（1）设AB的中点坐标为（x，y），
由题意可知a=2x，b=2y，直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0．
曲线C的方程可化为（x-1）²+（y-1）²=1，
所以曲线C为圆．
圆心到直线l的距离 d=

|b+a-ab|

a2+b2

，
当d=1时，直线与圆相切，
即

|b+a-ab|

a2+b2

=1，整理得（a-2）（b-2）=2，
线段AB中点的轨迹方程为：（x-1）（y-1）=1，x＞1，y＞1．
（2）由（1）得到（a-2）（b-2）=2且a＞2，b＞2，
所以ab=2（a+b）-2≥4

ab

-2，当且仅当a=b时取等号，
所以当a=b时，ab最小即三角形的面积最小，则三角形AOB为等腰直角三角形
则ab=4

2

+6，此时a=b=

2 ( 2 +1)

2

=

2

+2，
所以ab的最小值为：4

2

+6．

点评：本题是中档题，考查轨迹方程的求法，基本不等式的应用，考查计算能力，高考会考常考题型．