【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: (a>b>0)的离心率为,且过点(1, ).过椭圆C的左顶点A作直线交椭圆C于另一点P,交直线l:x=m(m>a)于点M.已知点B(1,0),直线PB交l于点N.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若MB是线段PN的垂直平分线,求实数m的值.
【答案】(1)+y2=1(2)m=
【解析】试题分析:(1)根据题意列出关于 、 、的方程组,结合性质 , ,求出 、 、,即可得结果;(2)设,则,所以.可得直线的方程为,根据可得,解方程即可得结果.
试题解析:解:(1)因为椭圆C的离心率为,所以a2=4b2. 又因为椭圆C过点(1, ),所以 解得a2=4,b2=1.
所以椭圆C的方程为+y2=1
(2)解法1
设P(x0,y0),-2<x0<2, x0≠1,则+y02=1.
因为MB是PN的垂直平分线,所以P关于B的对称点N(2-x0,-y0),
所以2-x0=m.
由A(-2,0),P(x0,y0),可得直线AP的方程为y= (x+2),
令x=m,得y=,即M(m, ).
因为PB⊥MB,所以kPB·kMB=-1,
所以kPB·kMB= =-1,
因为+y02=1.所以=1.
因为x0=2-m ,所以化简得3m2-10m+4=0,
解得m=.
因为m>2,所以m=.
解法2
①当AP的斜率不存在或为0时,不满足条件.
②设AP斜率为k,则AP:y=k(x+2),
联立消去y得(4k2+1)x2+16k2x+16k2-4=0.
因为xA=-2,所以xP=,所以yP=,
所以P(, ).
因为PN的中点为B,所以m=2-= (*)
因为AP交直线l于点M,所以M(m,k(m+2)),
因为直线PB与x轴不垂直,所以≠1,即k2≠,
所以kPB=,kMB=.
因为PB⊥MB,所以kPB·kMB=-1,
所以·=-1.(**)
将(*)代入(**),化简得48k4-32k2+1=0,
解得k2=,所以m==.
又因为m>2,所以m=.
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【题目】我市为了解本市高中学生的汉字书写水平,在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试,将所得数据进行分组,分组区间为:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]并绘制出频率分布直方图,如图所示.
(1)求频率分布直方图中的a值,及该市学生汉字听写考试的平均分;
(2)设A,B,C三名学生的考试成绩在区间[80,90)内,M,N两名学生的考试成绩在区间[60,70)内,现从这5名学生中任选两人参加座谈会,求学生M,N中至少有一人被选中的概率.
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【题目】已知点为圆上一动点,轴于点,若动点满足(其中为非零常数)
(1)求动点的轨迹方程;
(2)当时,得到动点的轨迹为曲线,斜率为1的直线与曲线相交于,两点,求面积的最大值.
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【题目】已知函数f(x)=cosx+ax2﹣1,a∈R.
(1)当a=0时,求函数f(x)在 处的切线方程;
(2)当a=1时,求函数f(x)在[﹣π,π]上的最大值和最小值;
(3)若对于任意的实数x恒有f(x)≥0,求实数a的取值范围.
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【题目】已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量 =(c+a,b), =(c﹣a,b﹣c),且 ⊥ .
(1)求角A的大小;
(2)若a=3,求△ABC周长的取值范围.
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【题目】设a、b表示两条直线,α、β表示两个平面,则下列命题正确的是 . (填写所有正确命题的序号) ①若a∥b,a∥α,则b∥α;②若a∥b,aα,b⊥β,则α⊥β;
③若α∥β,a⊥α,则a⊥β;④若α⊥β,a⊥b,a⊥α,则b⊥β.
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【题目】如果不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|﹣2<x<4},那么对于函数f(x)=ax2+bx+c应有( )
A.f(5)<f(2)<f(﹣1)
B.f(﹣1)<f(5)<f(2)
C.f(2)<f(﹣1)<f(5)
D.f(5)<f(﹣1)<f(2)
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【题目】某品牌汽车4s店对最近100位采用分期付款的购车者进行统计,统计结果如表所示:
付款方式 | 分1期 | 分2期 | 分3期 | 分4期 | 分5期 |
频数 | 40 | 20 | a | 10 | b |
已知分3期付款的频率为0.2,4s店经销一辆该品牌的汽车,顾客分1期付款,其利润为1万元,分2期或3期付款其利润为1.5万元,分4期或5期付款,其利润为2万元,用Y表示经销一辆汽车的利润.
(1)求上表中a,b的值.
(2)若以频率作为概率,求事件A:“购买该品牌汽车的3位顾客中,至多有一位采用3期付款”的概率P(A)
(3)求Y的分布列及数学期望EY.
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