【题目】函数,若对恒成立,则实数的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
由题意可得f(x)+f(x)=2,f(sinθ+cosθ)+f(sin2θ﹣t)<2对θ∈R恒成立可转化为,可令x=sinθ+cosθ,则f(sin2θ)+f(sinθ+t)>f(1+cos2θ)+f(1﹣cos2θ),可得f(sinθ+t)>f(1+cos2θ)恒成立,可令x=sinθ+cosθ,则可得f(sin2θ﹣t)<f(1﹣sinθ﹣cosθ)恒成立,再由f(x)的单调性和参数分离,转化为求最值,即可得到所求范围.
解:f(x)=x3+2019x﹣2019﹣x+1,
可得f(x)=﹣x3+2019﹣x﹣2019x+1,
则f(x)+f(x)=2,
f(sinθ+cosθ)+f(sin2θ﹣t)<2,
即为f(sinθ+cosθ)+f(sin2θ﹣t)<2=f(x)+f(x),
f(sinθ+cosθ)+f(sin2θ﹣t)<2对θ∈R恒成立,
可令x=sinθ+cosθ,则f(sinθ+cosθ)+f(sin2θ﹣t)<f(sinθ+cosθ)+f(1﹣sinθ﹣cosθ),
可得f(sin2θ﹣t)<f(1﹣sinθ﹣cosθ)恒成立,
由于f(x)在R上递增,f(x)的图象向右平移个单位可得f(x)的图象,
则
可得sin2θ﹣t<1﹣sinθ﹣cosθ恒成立,
即有t>sin2θ+sinθ+cosθ﹣1,
设g(θ)=sin2θ+sinθ+cosθ﹣1=(sinθ+cosθ)2+(sinθ+cosθ)﹣2
再令sinθ+cosθ=m,则msin(θ),
则m,
则g(m)=m2+m﹣2,其对称轴m,
故当m时,g(m)取的最大值,最大值为22.
则t,
故答案为:(,+∞)
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【题目】如图,已知椭圆 的长轴,长为4,过椭圆的右焦点作斜率为()的直线交椭圆于、两点,直线,的斜率之积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线,直线,分别与相交于、两点,设为线段的中点,求证:.
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【题目】若数列{an}满足:,且a1=1,则称{an}为一个X数列.对于一个X数列{an},若数列{bn}满足:b1=1,且,,则称{bn}为{an}的伴随数列.
(Ⅰ)若X数列{an}中a2=1,a3=0,a4=1,写出其伴随数列{bn}中b2,b3,b4的值;
(Ⅱ)若{an}为一个X数列,{bn}为{an}的伴随数列,证明:“{an}为常数列”是“{bn}为等比数列”的充要条件.
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【题目】如图所示,射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角,过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点,当AB的中点C恰好落在直线y=x上时,求直线AB的方程.
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【题目】某个微信群某次进行的抢红包活动中,群主所发红包的总金额为10元,被随机分配为2.49元、1.32元、2.19元、0.63元、3.37元共5份,供甲、乙等5人抢,每人只能抢一次,则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是( )
A. B. C. D.
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【题目】2019年春节期间,我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况,在某高速公路收费点记录了大年初三上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数,统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点,它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示,其中时间段9:20~9:40记作区间,9:40~10:00记作,10:00~10:20记作,10:20~10:40记作.例如:10点04分,记作时刻64.
(1)估计这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);
(2)为了对数据进行分析,现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆,再从这10辆车中随机抽取4辆,设抽到的4辆车中,在9:20~10:00之间通过的车辆数为X,求X的分布列与数学期望;
(3)由大数据分析可知,车辆在每天通过该收费点的时刻T服从正态分布,其中可用这600辆车在9:20~10:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替,可用样本的方差近似代替(同一组中的数据用该组区间的中点值代表),已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点,估计在9:46~10:40之间通过的车辆数(结果保留到整数).
参考数据:若,则,,.
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【题目】对于函数f(x),若a,b,c∈R,f(a),f(b),f(c)为某一三角形的三边长,则称f(x)为“可构造三角形函数”.已知函数f(x)=是“可构造三角形函数”,则实数t的取值范围是( )
A. B. C. D.
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