Question

如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，，交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1,

（1）证明；
（2）（文科）求三棱锥的体积
（理科）求平面和平面所成的锐二面角的正切值.

Answer 1

(1)详见解析；（2）（文科）；（理科）1

试题分析：(1)要证明直线和直线垂直，只需证明线和面垂直，由 ,∴面,从而,在梯形中，证明，从而面，∴；（2）（文科）求三棱锥的体积，关键是确定三棱锥的高，往往需要等体积转化，，可得；（2）理科,题中未给出两个半平面的交线，首先确定交线，延长交于，连结，然后先找二面角的平面角，再计算，过做，垂足,连接，证明面，则，就是所求二面角的平面角，计算即得结果.
试题解析：⑴∵EA⊥面ABC,BM面ABC,∴EA⊥MB，∴MB⊥AC,AC∩EA=A,∴MB⊥面ACEF，
∵EM面ACEF,∴EM⊥MB，在直角梯形ACEF中,EA=3,FC=1,AC=4，∴EF=，在Rt△ABC中, ∵
∠BAC＝30°,BM⊥AC，∴AM=3,CM=1，∴EM=,MF=，∵EF²=EM²+MF²，∴EM⊥MF,  
又MB∩MF=M，∴EM⊥面MBF,  ∵BF面MBF，∴EM⊥BF       8分
⑵(文科) 由(1)知,　MB⊥面ACFE   ∴，在直角梯形ACEF中，，，∴       14分
(理科)延长ＥＦ交ＡＣ于Ｈ，连结ＢＨ，过Ｃ做ＣＧ⊥ＢＨ，垂足Ｇ，ＦＣ∥ＥＡ，EA⊥面ABC，
∴ＦＣ⊥面ABC，∵ＢＨ面AＢC，∴ＢＨ⊥ＦＣ，∵ＦＣ∩ＣＧ＝Ｃ，∴ＢＨ⊥面ＦCＧ，∵ＦＧ面ＦCＧ，∴ＢＨ⊥ＦＧ，∴∠ＣＧＦ为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角，在直角梯形ACEF中，ＣＨ＝2，,在△ＢＣＨ中，ＣＨ＝２，ＢＣ＝２，∠ＢＣＨ＝，∴CG=1,在Rt△CGF中,FC=1，
∴∠ＣＧＦ=，平面BEF与平面ABC所成的锐二面角正切值为1       14分