Question

8．设f（x）=$\frac{1}{3}$x³+3x²+ax，若g（x）=$\frac{1}{{4}^{x}}$，对任意x₁∈[$\frac{1}{2}$，1]，存在x₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得f′（x₁）≤g（x₂）成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A． [-$\frac{11}{4}$，+∞）
• B． （-∞，-$\frac{13}{2}$]
• C． （-∞，-$\frac{11}{4}$]
• D． [-$\frac{13}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 由题意，只要f'（x）_max≤g（x）_max，分别求出两个函数的最大值，转化为关于a 的不等式求a的范围．

解答 解：由题意，对任意x₁∈[$\frac{1}{2}$，1]，存在x₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，
使得f'（x₁）≤g（x₂）成立，
所以f'（x）_max≤g（x）_max，f'（x）=x²+6x+a=（x+3）²+a-9，在[$\frac{1}{2}$，1]单调递增，
∴f'（x）_max=f'（1）=7+a，g（x）在[$\frac{1}{2}$，2]单调递减，
则g（x）_max=g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，所以7+a$≤\frac{1}{2}$，则a$≤\frac{1}{2}-7=-\frac{13}{2}$；
所以实数a的取值范围为（-$∞，-\frac{13}{2}$）；
故选B．

点评 本题考查了三次函数和指数函数的单调性以及存在与任意问题的解决办法；属于中档题．