分析 (1)由二次函数的图象和性质,可得f(-1)≥0,且f(1)≥0,且-1≤-$\frac{a}{2}$≤1,b<0,可以(a,b)为坐标,作出上面不等式组表示的可行域,令z=2a+b,平移直线2a+b=0,即可得到z的最值,进而得到所求范围;
(2)当|f(x)|≤1在[-1,1]上恒成立,1≥|f(x)|的最大值,运用绝对值不等式的性质,可得a=b=0,即有M≥|x|在[-1,1]的最大值,求得最大值1,即可得到所求范围.
解答 解:(1)当b<0时,△=a2-4b>0,
由题意可得f(-1)≥0,且f(1)≥0,且-1≤-$\frac{a}{2}$≤1,
即有1-a+b≥0,1+a+b≥0,-2≤a≤2,b<0.
可以(a,b)为坐标,作出上面不等式组表示的可行域,
令z=2a+b,平移直线2a+b=0,
当经过点A(1,0)时,2a+b取得最大值2;
经过点B(-1,0)时,2a+b取得最小值-2.
则2a+b的取值范围是[-2,2];
(2)当|f(x)|≤1在[-1,1]上恒成立,
1≥|f(x)|的最大值,
由|f(x)|=|x2+ax+b|≤|x2|+|ax|+|b|
≤1+|a|+|b|,
则1≥1+|a|+|b|,但|a|+|b|≥0,
即有|a|+|b|=0,可得a=b=0,
则|x+a|≤M在[-1,1]上恒成立,即为M≥|x|在[-1,1]的最大值,
由|x|≤1,可得M≥1,
即M的取值范围是[1,+∞).
点评 本题考查二次函数与二次方程、二次不等式的关系,考查二次方程实根的分布和不等式恒成立问题的解法,注意运用转化思想,以及绝对值不等式的性质,考查运算能力,属于中档题.
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A. | $\frac{1}{6}$ | B. | $\frac{1}{3}$ | C. | 1 | D. | $\frac{4}{3}$ |
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A. | $\frac{3π}{4}$+$\sqrt{3}$ | B. | $\frac{π}{2}$+$\sqrt{3}$ | C. | $\frac{{\sqrt{3}π}}{12}$ | D. | $\frac{{\sqrt{3}π}}{6}$ |
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A. | (-1,$\frac{1}{2}$] | B. | [-2,$\frac{1}{2}$] | C. | [-1,0] | D. | [-1,$\frac{1}{2}$] |
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A. | (a-1)(b-1)>0 | B. | 0<a+b<2 | C. | ab>1 | D. | 0<ab<1 |
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