分析 (Ⅰ)求导数,确定函数的单调性,即可求f(x)的极大值;
(Ⅱ)当m=1时,若直线y=2t与函数f(x)在[-$\frac{1}{2}$,1]上的图象有交点等价于方程f(x)=2t在$[-\frac{1}{2},1]$上有实数解,由(I)知,f(x)在$[-\frac{1}{2},0]$上单调递增,在[0,1]上单调递减,即可求实数t的取值范围;
(Ⅲ)利用分析法证明:(1+a)b<(1+b)a.
解答 (Ⅰ)解:f'(x)=1-mln(x+1)-m,定义域为(-1,+∞),….….…(1分)
m>0时,令f'(x)>0得mln(x+1)<1-m,∴$0<x+1<{e^{\frac{1-m}{m}}}$,….….…(2分)
令f'(x)<0得$x+1>{e^{\frac{1-m}{m}}}$,
∴f(x)在$(-1,{e^{\frac{1-m}{m}}}-1]$上单调递增,在$[{e^{\frac{1-m}{m}}}-1,+∞)$上单调递减,…(4分)
所以f(x)极大值=$f({e^{\frac{1-m}{m}}}-1)=m{e^{\frac{1-m}{m}}}-1$.…(5分)
(Ⅱ)解:当m=1时,f(x)=x-(x+1)ln(x+1),
由题意知,直线y=2t与函数f(x)在$[-\frac{1}{2},1]$上的图象有交点等价于方程f(x)=2t在$[-\frac{1}{2},1]$上有实数解.…(6分)
由(I)知,f(x)在$[-\frac{1}{2},0]$上单调递增,在[0,1]上单调递减.
又$f(0)=0,f(1)=1-ln4,f(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}ln2$,∴$f(1)-f(-\frac{1}{2})<0$…(8分)
∴当2t∈[1-ln4,0]时,即$t∈[\frac{1}{2}-ln2,0]$时,方程f(x)=2t有解,
即直线y=2t与函数f(x)在$[-\frac{1}{2},1]$上的图象有交点.…(9分)
(Ⅲ)证明:要证(1+a)b<(1+b)a
只需证bln(1+a)<a(1+b),只需证$\frac{{ln({1+a})}}{a}<\frac{{ln({1+b})}}{b}$…(10分)
设$g(x)=\frac{{ln({1+x})}}{x},({x>0})$,则$g'(x)=\frac{{\frac{x}{1+x}-ln({1+x})}}{x^2}=\frac{{x-({1+x})ln({1+x})}}{{{x^2}({1+x})}}$…(12分)
由(I)知x-(x+1)ln(x+1)在(0,+∞)单调递减,
∴x-(x+1)ln(x+1)<0,即g(x)在(0,+∞)上是减函数,
而a>b>0,∴g(a)<g(b),故原不等式成立…(14分)
点评 本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性与极值,考查分类讨论的数学思想,考查分析法证明不等式,综合性强.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\sqrt{3}$ | B. | 1 | C. | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | D. | 2 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (2,$\frac{7}{6}π}$) | B. | (2,-$\frac{7}{6}π}$) | C. | (-2,-$\frac{11π}{6}}$) | D. | (-2,$\frac{13}{6}π}$) |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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