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6.已知双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,若其渐进线与圆x2+y2-6y+3=0相切,则此双曲线的离心率等于(  )
A.$\frac{1}{2}$B.$\sqrt{3}$C.$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$D.$\sqrt{6}$

分析 利用双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>0,b>0)的一条渐近线y=$\frac{b}{a}$x与圆x2+y2-6y+3=0相切?圆心(0,3)到渐近线的距离等于半径r,利用点到直线的距离公式和离心率的计算公式即可得出.

解答 解:取双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>0,b>0)的一条渐近线y=$\frac{b}{a}$x,即bx-ay=0.
由圆x2+y2-6y+3=0化为x2+(y-3)2=6.圆心(0,3),半径r=$\sqrt{6}$.
∵渐近线与圆x2+y2-6y+3=0相切,
∴$\frac{3a}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=$\sqrt{6}$化为a2=2b2
∴该双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$.
故选:C.

点评 熟练掌握双曲线的渐近线方程、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、离心率的计算公式是解题的关键.

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