【题目】已知函数,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当且时,求证:.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
(1)求得,然后分、、三种情况讨论,分析导数的符号变化,可得出函数的单调递增区间和递减区间;
(2)将所证不等式变形为,设,利用导数分析出函数在区间上单调递增,由可证得结论.
(1)由题意,得.
①若,令,得;令,得.
故函数在上单调递减,在上单调递增;
②若,令,得;令,得.
故函数在上单调递增,在上单调递减;
③若,则是常值函数,不存在单调性.
综上所述,当时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为;
当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为;
当时,函数不存在单调性;
(2)当时,,则即为.
不等式两边同时除以,得,得.
记函数,则.
设.
当时,,所以函数在上单调递增.
所以当时,.
所以,所以函数在上单调递增.
所以,即.
故得证.
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【题目】如图所示,在棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,PA=AD=DC=2,AB=4且AB∥CD,∠BAD=90°.
(1)求证:BC⊥PC;
(2)求PB与平面PAC所成角的正弦值.
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【题目】已知函数,.
(1)存在,对任意,有不等式成立,求实数的取值范围;
(2)如果存在、,使得成立,求满足条件的最大整数;
(3)对任意,存在,使得成立,求实数的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线与曲线两交点所在直线的极坐标方程;
(2)若直线的极坐标方程为,直线与轴的交点为,与曲线相交于两点,求的值.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线相交于、两点,求的面积.
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【题目】在高中学习过程中,同学们经常这样说:“数学物理不分家,如果物理成绩好,那么学习数学就没什么问题。”某班针对“高中生物理学习对数学学习的影响”进行研究,得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论。现从该班随机抽取5位学生在一次考试中的数学和物理成绩,如下表:
(1)求数学成绩y对物理成绩x的线性回归方程。若某位学生的物理成绩为80分,预测他的数学成绩;
(2)要从抽取的这5位学生中随机抽取2位参加一项知识竞赛,求选中的学生的数学成绩至少有一位高于120分的概率。(参考公式: 参考数据: )
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【题目】在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),在极坐标(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,轴正半轴为极轴)中,圆的方程为
(1)求圆的直角坐标方程;
(2)设圆与直线交于点,,若点的坐标为,求.
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【题目】关于函数有下述四个结论:
①的周期为;
②在上单调递增;
③函数在上有个零点;
④函数的最小值为.
其中所有正确结论的编号为( )
A.①②B.②③C.③④D.②④
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