Question

5．设经过定点P（a，0）的直线与抛物线y²=6x相交于A，B两点，若$\frac{1}{|PA{|}^{2}}+\frac{1}{|PB{|}^{2}}$为定值，则a=（　　）

• A． 6
• B． 3
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 设出过P的直线的参数方程，代入抛物线方程，运用韦达定理，化简整理，由同角的平方关系，即可得到a=3．

解答 解：设过定点P（a，0）的直线为$\left\{\begin{array}{l}{x=a+tcosθ}\\{y=tsinθ}\end{array}\right.$（t为参数），
代入抛物线y²=6x，可得t²sin²θ-6tcosθ-6a=0，
即有t₁+t₂=$\frac{6cosθ}{si{n}^{2}θ}$，t₁t₂=-$\frac{6a}{si{n}^{2}θ}$，
则$\frac{1}{|PA{|}^{2}}+\frac{1}{|PB{|}^{2}}$=$\frac{1}{{{t}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{t}_{2}}^{2}}$=$\frac{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-2{t}_{1}{t}_{2}}{（{t}_{1}{t}_{2}）^{2}}$
=$\frac{\frac{36co{s}^{2}θ}{si{n}^{4}θ}+\frac{12a}{si{n}^{2}θ}}{\frac{36{a}^{2}}{si{n}^{4}θ}}$=$\frac{36co{s}^{2}θ+12asi{n}^{2}θ}{36{a}^{2}}$，
由题意可得，
36cos²θ+12asin²θ=36（cos²θ+sin²θ）=36，
即有a=3．
故选B．

点评 本题考查直线的参数方程的应用，考查直线和抛物线的位置关系，考查运算能力，属于中档题．