Question

10．已知等差数列{b_n}，等比数列{a_n}（q≠1），且a₁=b₁=3，a₂=b₄，a₃=b₁₃
（1）求：通项公式a_n，b_n
（2）令c_n=a_nb_n，求{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{b_n}的公差为d，等比数列{a_n}的公比为q≠1，由a₁=b₁=3，a₂=b₄，a₃=b₁₃，可得$\left\{\begin{array}{l}{3q=3+3d}\\{3{q}^{2}=3+12d}\end{array}\right.$，解得再利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{b_n}的公差为d，等比数列{a_n}的公比为q≠1，
∵a₁=b₁=3，a₂=b₄，a₃=b₁₃，∴$\left\{\begin{array}{l}{3q=3+3d}\\{3{q}^{2}=3+12d}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{q=3}\\{d=2}\end{array}\right.$，
∴${a}_{n}={3}^{n}$，b_n=2n+1．
$（2）{S_n}=3×3+5×{3^2}+…（2n+1）{3^n}$，
∴3S_n=3×3²+5×3³+…+（2n-1）×3ⁿ+（2n+1）×3ⁿ⁺¹，
∴-2S_n=3×3+2×3²+2×3³+…+2×3ⁿ-（2n+1）×3ⁿ⁺¹
=3+2（3+3²+…3ⁿ）-（2n+1）3ⁿ⁺¹=$3+2×\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-（2n+1）×3ⁿ⁺¹=-2n×3ⁿ⁺¹
∴${S}_{n}=n×{3}^{n+1}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．