Question

已知等差数列{a_n}和正项等比数列{b_n}，a₁=b₁=1，a₃+a₇=10，b₃=a₄
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式
（2）若c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

解：（1）依题意，{a_n}为等差数列设其公差为d；{b_n}为等比数列，设其公比为q，则可知q＞0
∵a₃+a₇=10
∴2a₅=10即a₅=5
又a₁=1
∴a₅-a₁=4d=4解得d=1
故a_n=a₁+（n-1）d=n
由已知b₃=a₄=4
∴即q=2
∴b_n=b₁q^n-1=2^n-1
∴a_n=n，b_n=2^n-1
（2）∵c_n=a_n•b_n=n•2^n-1
∴T_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n×2^n-1
∴2T_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ
两式相减得-T_n=2⁰+2¹+2²+…+2^n-1-n×2ⁿ
=
∴T_n=（n-1）×2ⁿ+1
分析：（1）利用等差数列的性质求出a₅，利用等差数列的通项公式求出公差d，再利用等差数列的通项公式求出通项；利用等比数列的通项公式求出公比，进一步求出通项．
（2）求出c_n，据其特点是由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成，利用错位相减法求出数列的前n项和．
点评：求数列的前n项和，首先求出数列的通项，根据数列通项的特点，选择合适的求和方法．