精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
20.自⊙O外一点p引切线与⊙O切于点A,M为PA的中点,过M引割线交⊙O于B、C两点.
求证:
(Ⅰ)PM2=MB•MC;
(Ⅱ)∠MCP=∠MPB.

分析 (Ⅰ)根据切割线定理,得到AM是MB和MC的比例中项,结合AM=MP即可证明PM2=MB•MC;
(Ⅱ)由MP2=MB•MC得$\frac{PM}{MC}=\frac{MB}{PM}$,再结合公共角∠BMP=∠PMC,得三角形BMP与三角形PMC相似,从而得到对应角相等,命题得证.

解答 证明:(Ⅰ)∵AM切圆于点A
∴AM2=MB•MC
又∵M为PA中点,AM=MP
∴MP2=MB•MC;
(Ⅱ)∵MP2=MB•MC,
∴$\frac{PM}{MC}=\frac{MB}{PM}$,
又∵∠BMP=∠PMC
∴△BMP∽△PMC(边角边)
∴∠MCP=∠MPB.

点评 本题考查了圆当中的比例线段,以及三角形相似的有关知识点,属于中档题.找到题中的相似三角形来证明角的相等,是解决本题的关键.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

10.在三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是边长为2的正三角形,侧面BB1C1C是矩形,D、E分别是线段BB1、AC1的中点.
(1)求证:DE∥平面A1B1C1
(2)若平面ABC⊥平面BB1C1C,BB1=4,求三棱锥A-DCE的体积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

11.设a,b,c为正实数,求证:
(Ⅰ) $\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+abc≥2\sqrt{3}$;
(Ⅱ) ${a^2}+{b^2}+{c^2}+{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2}≥6\sqrt{3}$.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

8.用解析法证明:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

15.设四边形ABCD内接于圆,另一圆的圆心在边AB上并且与四边形的其余三边相切.证明:AD+BC=AB.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

5.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥平面ABC,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1,E,F分别是CC1,BC的中点.
(Ⅰ)求证:B1F⊥平面AEF;
(Ⅱ)求锐二面角B1-AE-F的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

12.如图,边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1C与BC1相交于点O.
(1)求证:BC1∥平面AA1D1D;
(2)求证:BC1⊥平面B1DC;
(3)求四面体B1-BDC1的体积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

9.如图,己知L、K分别是△ABC的边AB、AC的中点.△ABC的内切圆⊙l分别与边BC、CA切于点D、E.求证:KL、DE的交点在∠ABC的角平分线上.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

10.设z=(2-i)2(i为虚数单位),则复数z的共轭复数为3+4i.

查看答案和解析>>

同步练习册答案