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设三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2bsinA.
(1)求B的大小;
(2)当B锐角时,求cosA+sinC的取值范围.
分析:(1)已知等式利用正弦定理化简,根据sinA不为0求出sinB的值,利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数;
(2)所求式子利用诱导公式化简,根据B为锐角确定出B的度数,代入后利用两角和与差的正弦函数公式整理为一个角的正弦函数,根据A的范围求出这个角的范围,利用正弦函数的图象与性质即可求出所求式子的取值范围.
解答:解:(1)由正弦定理得:sinA=2sinB•sinA,
∵在△ABC中,sinA≠0,
∴sinB=
1
2

∴B=
π
6
或B=
6

(2)∵B为锐角,即B=
π
6

∴cosA+sinC=cosA+sin[π-(A+B)]=cosA+sin(
π
6
+A)=
3
2
cosA+
3
2
sinA=
3
sin(A+
π
3
),
∵A∈(0,
6
),
∴A+
π
3
∈(
π
3
6
),
∴sin(A+
π
3
)∈(-
1
2
,1],
∴cosA+sinC的取值范围为(-
3
2
3
].
点评:此题考查了正弦定理,两角和与差的正弦函数公式,以及正弦函数的定义域与值域,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

设三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+c2=
3
ac+b2
,求B的大小和cosA+sinC的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•惠州模拟)设三角形ABC的内角A,B,C,的对边分别为a,b,c,a=4,c=
13
,sinA=4sinB.
(1)求b边的长;
(2)求角C的大小.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•惠州模拟)设三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=4,c=
13
,sinA=4sinB.
(1)求b边的长;
(2)求角C的大小;
(3)求三角形ABC的面积S.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=4,c=
13
,sinA=4sinB
(1)求b边的长;
(2)求角C的大小.
(3)如果cos(x+C)=
4
5
(-
π
2
<x<0)
,求sinx.

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