Question

【题目】已知椭圆：右焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点，若；

（1）求椭圆的离心率；

（2）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且. 求椭圆的方程.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）；

【解析】

（1）由题意可得，即，再由离心率公式可得所求值；

（2）求得，，可得椭圆方程为，设直线的方程为，联立椭圆方程求得的坐标，以及直线的斜率，由两条直线平行的条件和直线与圆相切的条件，解方程可得，即可得到所求椭圆方程．

（1），所以即

可得；

（2），，

即，，

可得椭圆方程为，

设直线的方程为，

代入椭圆方程可得，

解得或，

代入直线方程可得或（舍去），

可得，

圆心在直线上，且，可设，

可得，解得，

即有，可得圆的半径为2，

由直线和圆相切的条件为，

可得，解得，

可得，，

可得椭圆方程为.