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精英家教网如图1,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=
12
AP=2
,D是AP的中点,E,F,G分别为PC、PD、CB的中点,将△PCD沿CD折起,使得PD⊥平面ABCD,如图2.
(Ⅰ)求三棱椎D-PAB的体积;
(Ⅱ)求证:AP∥平面EFG;
(Ⅲ)求二面角G-EF-D的大小.
分析:(Ⅰ)根据要求的三棱锥的体积与已知底面和高的三棱锥的体积相等,写出体积的表示式,得到结果.
(Ⅱ)建立坐标系,写出要用的点的坐标,进而写出向量,设出平面的法向量,求出法向量,根据法向量与直线的方向向量垂直,得到线面平行.
(Ⅲ)两个平面的法向量一个已经求出,另一个在图形中存在,这样根据两个平面的法向量所成的角,得到两个平面的二面角.
解答:精英家教网解:(Ⅰ)VD-PAB=VP-DAB=
1
3
S△ABD•PD=
1
3
×
1
2
×2×2×2=
4
3

(Ⅱ)证明:如图以D为原点,以
DA
DC
DP
为方向向量建立空间直角坐标系D-xyz.
则有关点及向量的坐标为:
P(0,0,2),C(0,2,0),G(1,2,0),
E(0,1,1),F(0,0,1),A(2,00).
AP
=(-2,0,2),
EF
=(0,-1,0),
EG
=(1,1,-1)

设平面EFG的法向量为
n
=(x,y,z)
n
EF
=0
n
EG
=0
?
-y=0
x+y-z=0
?
x=z
y=0
.取
n
=(1,0,1)

n
AP
=1×(-2)+0×0+1×2=0
,∴
n
AP

又AP?平面EFG.∴AP∥平面EFG
(Ⅲ)由已知底面ABCD是正方形∴AD⊥DC,又∵PD⊥面ABCD∴AD⊥PD
又PD∩CD=D∴AD⊥平面PCD,∴向量
DA
是平面PCD的一个法向量,
DA
=(2,0,0)
平面EFG的法向量为
n
=(1,0,1)
cos?
DA
n
>=
DA
n
|
DA
|•|
n
|
=
2
2
2
=
2
2

结合图知二面角G-EF-D的平面角为450
点评:本题考查立体几何的综合题目,本题解题的关键是建立坐标系,把一些理论性的证明转化成运算,降低了题目的难度.
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如图1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2,M为线段AB的中点.将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体D-ABC,如图2所示.
(Ⅰ)求证:BC⊥平面ACD;
(Ⅱ)求二面角A-CD-M的余弦值.
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(2013•肇庆二模)如图1,在直角梯形ABCD中,已知AD∥BC,AD=AB=1,∠BAD=90°,∠BCD=45°,AE⊥BD.将△ABD沿对角线BD折起(图2),记折起后点A的位置为P且使平面PBD⊥平面BCD.
(1)求三棱锥P-BCD的体积;
(2)求平面PBC与平面PCD所成二面角的平面角的大小.

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(2013•海淀区二模)如图1,在直角梯形ABCD中,∠ABC=∠DAB=90°,∠CAB=30°,BC=2,AD=4.把△DAC沿对角线AC折起到△PAC的位置,如图2所示,使得点P在平面ABC上的正投影H恰好落在线段AC上,连接PB,点E,F分别为线段PA,PB的中点.
(Ⅰ)求证:平面EFH∥平面PBC;
(Ⅱ)求直线HE与平面PHB所成角的正弦值;
(Ⅲ)在棱PA上是否存在一点M,使得M到P,H,A,F四点的距离相等?请说明理由.

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(2013•韶关二模)如图1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AD=CD=
12
AB=2
,点E为AC中点,将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体D-ABC,如图2所示.
(1)求证:DA⊥BC;
(2)在CD上找一点F,使AD∥平面EFB;
(3)求点A到平面BCD的距离.

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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°,AB=2,CD=6,AD=3,E为CD上一点,且DE=4,过E作EF∥AD交BC于F现将△CEF沿EF折起到△PEF,使∠PED=60°,如图2.
(Ⅰ)求证:PE⊥平面ADP;
(Ⅱ)求异面直线BD与PF所成角的余弦值;
(Ⅲ)在线段PF上是否存在一点M,使DM与平在ADP所成的角为30°?若存在,确定点M的位置;若不存在,请说明理由.

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