Question

已知（

x

+

1

2• 4 x

）ⁿ的展开式中仅有第5项二项式系数最大，则展开式中的有理项共有

 

项，分别是第

 

项．

Answer 1

分析：先根据二项式（

x

+

1

2• 4 x

）ⁿ的展开式中仅有第5项二项式系数最大，可求得n的值，然后利用二项展开式的通项公式即可求得展开式中的有理项．

解答：解：∵二项式（

x

+

1

2• 4 x

）ⁿ的展开式中仅有第5项二项式系数最大，
∴n=8，则T_r+1=C₈^r（

x

）^8-r(

1

2

)rx-

r

4

=(

1

2

)rC₈^rx4-

3r

4

，
当4-

3r

4

∈Z时，T_r+1为有理项，
∵0≤r≤8且r∈Z，
∴r=0，4，8符合要求，故有理项有3项，分别为1、5、9项．
故答案为：3；1、5、9．

点评：本题考查二项式定理的应用，涉及二项式系数的性质，要注意系数与二项式系数的区别，考查分析与运算能力，属于中档题．