Question

下列四个命题：
①命题P：

x-2

x2+2x-3

≤0；则￢P命题是；

x-2

x2+2x-3

＞0；
②（1+kx²）¹⁰（k为正整数）的展开式中，x¹⁶的系数小于90，则k的值为1；
③从总体中抽取的样本（x₁，y₁），（x₂，y₂）…，（x_n，y_n）．若记

.

x

=

1

n

n

i=1

xi，

.

y

=

1

n

n

i=1

yi，则回归直线

y

=bx+a必过点（

.

x

，

.

y

）；
④过双曲线x2-

y2

4

=1的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，若弦长|AB|=8，则这样的直线恰好有3条；其中正确的序号是

②③④

（把你认为正确的序号都填上）．

Answer 1

分析：①利用命题的否定判断．②利用二项展开式定理的内容判断．③根据回归直线的性质判断．④利用直线与双曲线的相交弦的取值情况进行判断．

解答：解：①命题P的否定是：

x-2

x2+2x-3

＞0且x²+2x-3=0，所以①错误．
②二项展开式的通项公式为C

r 10

(kx2)r，所以当r=8时，得到x¹⁶的系数为，

C

8 10

k8＜90，解得k⁸＜2，
因为k为正整数，所以k=1，所以②正确．
③根据回归直线的性质可知，回归直线

y

=bx+a必过点（

.

x

，

.

y

），所以③正确．
④由双曲线x2-

y2

4

=1的方程知a=1，b=2，
过右焦点的通径长度为

2b2

a

=8，因为过焦点且交双曲线一支的弦中通径最短，所以当A、B都在右支且满足AB|=8的弦只有一条；又实轴长为2，小于8，所以过右焦点、A、B位于两支且满足|AB|=8的弦必有两条，综上，满足条件|AB|=8的直线有3条，所以④正确．
故答案为：②③④．

点评：本题主要考查各种命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，难度较大．